A körülöttünk lévő világ 3 dimenziós (3D) térben létezik. 3 merőleges
irány van: balra-jobbra, előre-hátra, fel-le. Az összes többi irány
csupán ezeknek az elemi irányoknak az összetétele. Ez a három irány
matematikailag három koordinátatengelynek felel meg, melyeket hagyományosan X-nek, Y-nak és Z-nek nevezünk.
Az ábra nyilai azt jelölik, mely irányokat neveznek számszerűen
pozitívnak, és melyeket negatívnak. Megállapodás szerint a jobb oldali a
pozitív X, a bal oldali a negatív X, az előre a pozitív Y, a hátra a
negatív Y, a föl a pozitív Z, a le pedig a negatív Z. Ezekre az
irányokra rendre +X, −X, +Y, −Y, +Z és −Z néven fogunk utalni. Azt a
pontot, ahol a koordinátatengelyek találkoznak, origónak hívjuk.
Tudomásunk szerint az általunk lakott tér ebből a három dimenzióból
áll, és nem többől. Talán úgy gondoljuk, hogy a térnek 3 dimenziósnak kell
lennie, és ez nem is lehet másként. Fizikailag ez talán igaz, de
matematikailag semmi különös vonása nincs a 3-as számnak, amitől a
térnek csakis ennyi dimenziója lehetne. 3-nál kevesebb dimenzió is
lehetséges: az 1D-s tér például csak egy egyenes vonalból áll, amely
mindkét végén a végtelenbe nyúlik; a 2D-s tér pedig egy lapos síkból
áll, amely széltében és hosszában terjed ki korlátlanul. A geometriában
azonban semmi sem határol be minket 3 vagy annál kevesebb számú
dimenzióra. Minden további nélkül lehetséges – matematikailag pedig
kézenfekvő – 3-nál több térdimenziós geometriával foglalkozni. Ezek
közül megvizsgálhatjuk a 4. térdimenziót, ami a világunkban ismert
mindhárom kardinális irányra merőleges. Az e 4 dimenzió által
meghatározott teret 4 dimenziós térnek vagy röviden 4D-s térnek nevezzük.
A 4D-s világban létezik egy további irányú tengely, ami az X, Y és Z tengelyekre merőleges. Ezt a tengelyt W-nek fogjuk nevezni, az ennek mentén haladó irányt pedig negyedik iránynak. Ennek az új tengelynek is van pozitív és negatív iránya, amelyekre +W-ként és −W-ként fogunk hivatkozni.
Fontos megértenünk, hogy az itt ábrázolt W tengely mindhárom
másik koordinátatengelyre merőleges. Lehet, hogy kíváncsiságból
megpróbálnánk W irányba mutatni, ez azonban nem lehetséges, mert a 3
dimenziós térre vagyunk korlátozva.
Miért akarjunk megpróbálni elképzelni magunknak egy többdimenziós
teret, amit sem megtapasztalni nem tudunk, sem közvetlenül hozzáférni
nem vagyunk képesek? A 4D megjelenítésének a puszta kíváncsiságon túl is
igen sokféle hasznos vonatkozása van.
A matematikusok régóta kutatják, hogyan lehetne elképzelni a 4D-s
teret. A differenciál- és integrálszámításban igen sokat segít a
függvények megértésében, ha grafikusan ábrázoljuk őket.
Megrajzolhatjuk milliméterpapíron egy változónak a
valósérték-függvényét, ami 2D. 3D-s grafikonon két változó
valósérték-függvényét is megrajzolhatjuk. Azonban már a legegyszerűbb
komplexérték-függvénnyel is gondunk támad, amelynek csak 1 komplex
argumentuma van: minden komplex szám két részből áll, egy valós és egy
képzetes részből, és a teljes ábrázolásához 2 dimenzióra van szükség. Ez
annyit jelent, hogy egy komplex függvény grafikonjának megrajzolásához 4
dimenzióra lesz szükségünk. De ahhoz, hogy a létrejövő grafikont látni
tudjuk, el kell tudnunk képzelni a 4D-t.
Einstein speciális relativitáselmélete azon alapul, hogy a tér és az
idő összekapcsolódik egymással, és együttesen egy 3 térdimenzióból és 1
idődimenzióból álló téridő-kontinuumot alkotnak. Bár elképzelhetjük a
téridőt úgy, hogy az időt pusztán időként kezeljük, és a
téridő-objektumok „pillanatképeit” vizsgáljuk a különböző időpontokban, a
téridőt hasznos lehet geometriailag is megközelíteni. Két esemény
távolsága például két 4D-s pont közti távolság lesz. A fénykúpnak is van
egy bizonyos alakja, amit csak 4D-s objektumként lehet megfelelően
elképzelni.
Einstein általános relativitáselmélete a téridő görbületét is leírja. Bár a fizikai térdimenzióban lehet, hogy ez nem görbületként jelenik meg, hasznos lehet ily módon elképzelni, hogy lássuk,
hogyan görbül 3-felé a tér 4D-ben. Ha például a világegyetem terének
pozitív görbülete van, akkor ennek 4D-s hipergömb alakja lenne – de hogy
nézhet ki ez?
Sok más érdekes matematikai objektum teljes megragadásához is el kell
tudnunk képzelni a 4D-t. Ezek közé tartoznak a 4D-s politópok (a
poliéderek 4D-s változatai); bizonyos topológiai objektumok, mint a 3-as
tórusz vagy a valós vetítősík, amelyeket csak 4 vagy annál magasabb
számú dimenzióba lehet beágyazni; valamint a kvaternionok, amelyeknek a
3D-s forgatások ábrázolásánál vehetjük hasznát. Aligha lehet jól
megragadni ezeket az objektumokat anélkül, hogy saját terükben tudnánk
látni őket.
Egyesek szerint lehetetlen elképzelnünk a 4D-t, mivel be vagyunk
határolva a 3D-re, ezáltal nem is tudjuk közvetlenül megtapasztalni. Én
azonban azt hiszem, hogy igenis lehetséges meglehetősen jó fogalmat
kialakítanunk magunkban arról, hogy milyen. A megoldás abban rejlik,
hogy N dimenzió látásához az embernek csak (N−1) dimenziós retinára van
szüksége.
Noha 3D-s világban élő, 3D-s élőlények vagyunk, szemünk valójában
csak 2D-ben lát. Retinánknak csak 2D-s felszíne van, amellyel a szembe
érkező fényt érzékelni tudja. Szemünk valójában nem 3D-t lát, csak az általunk ismert 3D-s világnak egy 2D-s vetületét.
Ennek ellenére könnyedén képesek vagyunk a 3D fogalmát megérteni.
Agyunknak semmi gondot nem okoz a retinánk által látott 2D-s képekből rekonstruálni
a körülöttünk lévő világ 3D-s modelljét. A 2D-s képeken lévő közvetett
információk révén képes erre, mint például a fény-árnyék viszonyok és a
rövidülés, valamint korábbi tapasztalataink alapján. Még ha retinánk
valójában nem is lát 3D-s mélységet, ösztönösen következtetünk
rá. Igen jó intuitív benyomásunk van arról, mi az a 3D, olyannyira,
hogy rendszerint nem is vagyunk cseppet sem tudatában, hogy csak 2D-ben
látunk.
Egy elképzelt 4D-s lénynek hasonlóképpen 3D-s retinája lenne, a 4D-s világot pedig 3D-s vetületként látná.
Nem látná közvetlenül a negyedik dimenziót, de közvetett
információkból, például a fény-árnyék viszonyokból, a rövidülésből és
korábbi tapasztalataiból következtetne rá.
Itt abban rejlik a megoldás, hogy a 4D-s lény a retináján 3 dimenziós, nem pedig 4 dimenziós képet lát. Csupán következtet a 4. dimenzióra. De mivel a 3D-ről nekünk
is jó intuitív fogalmaink vannak, korántsem olyan nehéz megértenünk,
mit lát egy 4D-s lény a retináján. Ekkor pedig már csak azt kell
megtudnunk, hogyan következtethetünk a 4D-s mélységre.
Az anyag hátralevő része részletesen leírja a 4D megjelenítésének
alapelveit, és számos példával szolgál 4D-s objektumokra. A kérdést
tisztán geometriailag
|